物体旋转¶

在游戏中对物体进行旋转时，只需要将旋转矩阵与其所有的顶点向量相乘，就可以得到所有变换后的顶点坐标了

旋转矩阵¶

一行公式即可理解：\(R\cdot\vec{v}=\vec{v}'\)

其中，\(R\) 为旋转矩阵，\(\vec{v}\) 为初始向量，\(\vec{v}'\) 为变换后向量

二维旋转矩阵¶

以逆时针旋转角度 \(\theta\) 作为正角，旋转矩阵为：

\(M(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)

三维旋转矩阵¶

以右手笛卡尔坐标系为例，\(R_x,R_y,R_z\) 分别为以 \(x,y,z\) 轴旋转的旋转矩阵

\(R_x(\theta_x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_x & -\sin \theta_x \\ 0 & \sin \theta_x & \cos \theta_x \end{bmatrix}\)

\(R_y(\theta_y) = \begin{bmatrix} \cos \theta_y & 0 & \sin \theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta_y & 0 & \cos \theta_y \end{bmatrix}\)

\(R_z(\theta_z) = \begin{bmatrix} \cos \theta_z & -\sin \theta_z & 0 \\ \sin \theta_z & \cos \theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

欧拉角(Tait-Bryan角)¹¶

一种常用的旋转顺序为 \(z-y-x\) 或者说 \(z-y'-x''\) (表示新的轴)，绕这三个轴旋转的角依次被称作偏航角(yaw)、俯仰角(pitch)、滚动角(roll)记作 \(\alpha,\beta,\gamma\)

则其旋转矩阵为：

\({\displaystyle{\begin{aligned} R &= R_{z}(\alpha)\,R_{y}(\beta)\,R_{x}(\gamma) \\ &={\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix} \cos \alpha &-\sin \alpha &0\\ \sin \alpha &\cos \alpha &0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}} {\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix} \cos \beta &0&\sin \beta \\ 0&1&0\\ -\sin \beta &0&\cos \beta \\ \end{bmatrix}}} {\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\ 0&\sin \gamma &\cos \gamma \\ \end{bmatrix}}}\\ &={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\ \sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\ -\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\ \end{bmatrix}} \end{aligned}}}\)

但是使用欧拉角进行变换会出现万向锁的情况。

轴-角对¶

顾名思义，以任意向量为轴，将物体进行旋转，但是坐标变换的计算还是需要通过矩阵或者四元数的方式进行

四元数^{2 3}¶

若任意向量 \(\vec{v}\) 沿着以 单位向量 定义的旋转轴 \(\vec{u}\) 旋转 \(\theta\) 角度之后的 \(\vec{v}'\)

令 \(a = \cos \frac{\theta}{2}\)，\(b = \sin \frac{\theta}{2} \cdot \vec{u_x}\)，\(c = \sin \frac{\theta}{2} \cdot \vec{u_y}\)，\(d = \sin \frac{\theta}{2} \cdot \vec{u_z}\)，\(v=[0, \vec{v}]\)，\(v'=[0,\vec{v}']\)

则四元数 \(q = a + bi + cj + dk\) （ \(a\) 为实部，\(i,j,k\) 为虚部）

\({\displaystyle{\begin{aligned} v' = qvq^* &= \begin{bmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{bmatrix} v\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2c^2 - 2d^2 & 2bc - 2ad & 2ac + 2bd \\ 0 & 2bc + 2ad & 1 - 2b^2 - 2d^2 & 2cd - 2ab \\ 0 & 2bd - 2ac & 2ab + 2cd & 1 - 2b^2 - 2c^2 \end{bmatrix}v \end{aligned}}}\)

化简得：

\({\displaystyle{\begin{aligned} \vec{v}' = \begin{bmatrix} 1 - 2c^2 - 2d^2 & 2bc - 2ad & 2ac + 2bd \\ 2bc + 2ad & 1 - 2b^2 - 2d^2 & 2cd - 2ab \\ 2bd - 2ac & 2ab + 2cd & 1 - 2b^2 - 2c^2 \end{bmatrix} \vec{v} \end{aligned}}}\)

这样就得到了 轴-角对 的旋转矩阵

不过在实际应用中，直接使用四元数与三维向量转换成的纯四元数相乘即可，使用旋转矩阵运算效率并不高

同时，对于四元数特性，可以比较容易的对四元数进行插值，且不会出现万向锁的问题