课程 1-5 阶段性总结¶
这部分内容主要介绍了：
- 向量、矩阵运算（线性代数）
- MVP变换（Model-View-Projection）
- 视口变换（Viewport）
接下来做一下简单总结，线代部分就略过了。
M-V-P 变换¶
在我的理解中，完成这三种变换事实上就是将物体映射到标准空间中。
这里的标准空间是以原点为中心，边长为2的立方体空间，课程中用 \([-1,1]^3\) 来表示
模型变换 (Model Transoformation)¶
这里的变换主要是对观察物体进行操作，通过缩放、旋转、平移等操作，对物体坐标进行变换。
用官方点的话讲就是 将模型空间转换到世界空间。简单的来讲就是将一个物体摆放在一个世界中，以该世界的坐标系来表示该物体。
Scale（缩放）¶
\({\displaystyle{\begin{aligned} S(s_x,s_y,s_z)=\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
Translation（平移）¶
\({\displaystyle{\begin{aligned} T(t_x,t_y,t_z)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
Rotation（旋转）¶
\({\displaystyle{\begin{aligned} R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} R_y(\alpha)=\begin{bmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} R_z(\alpha)=\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
观察变换 (View / Camera Transoformation)¶
观察变换就是 将世界空间转换到观察空间。
由于摄像机（观察者）与物体相对位置是固定的，因此将摄像机摆放在原点位置，朝-Z的方向观看，同时物体位置跟着变换，这样会有很多好处（没有具体说明，大概是方便计算之类的）。
变换公式¶
- 位置：\(\vec{e}\)
- 观察方向：\(\hat{g}\)
- 向上方向：\(\hat{t}\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} M_{view}&=R_{view}T_{view} \\ &=\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
其实相当于是对坐标系进行变换
投影变换 (Projection Transoformation)¶
投影变换就是 将观察空间转换到裁剪空间。
由于人观察物体的视野范围是一个锥形，映射物体到标准立方体空间时会产生一定的扭曲，反应在屏幕上就是有“近大远小”，平行线交于一点的透视效果。
变换公式¶
\({\displaystyle{\begin{aligned} M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} M_{persp \rightarrow ortho}=\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} M_{persp}=M_{ortho}M_{persp \rightarrow ortho} \end{aligned}}}\)
对于 \(M_{persp \rightarrow ortho}\) 矩阵，可能会发现与一些教科书上的公式不太一样，主要是这里视频中规定的 \(f<n<0\)，而其他教材中 \(f>n>0\)，会出现正负号不太一样的地方
常用表示¶
一般定义视锥会用到两个参数 \(fovY\)（垂直可视角度）、 \(aspect\)（宽高比）
\({\displaystyle{\begin{aligned} \tan\frac{fovY}{2}=\frac{t}{\lvert n \rvert} \end{aligned}}}\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} aspect=\frac{r}{t} \end{aligned}}}\)
视口变换¶
忽略先前的标准立方体空间中的 \(Z\) 轴，只对 \(x,y\) 平面内进行变换，将 \([-1,1]^2\) 转换到 \([0,width]\times[0,height]\)
\({\displaystyle{\begin{aligned} M_{viewport}=\begin{bmatrix} \frac{width}{2} & 0 & 0 & \frac{width}{2} \\ 0 & \frac{height}{2} & 0 & \frac{height}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}}}\)